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三角形四心的定義及性質

一、外心.

三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關係密切的有圓周角定理.

圓周角定理:

同弧所對圓周角是圓心角的一半.

證明略(分類思想,3種,半徑相等)

圓周角推論1:

半圓(弧)和半徑所對圓周角是90‵.

90‵圓周角所對弦是直徑.

(常用輔助線:已知直徑,作其所對圓周角;已知90‵圓周角,作其所對弦,即直徑.)

圓周角推論2:

同(等)弧所對圓周角相等.

同(等)圓中,相等的圓周角所對弧相等.

三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心.掌握重心將每

條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便於解題.

中線長度公式:在三角形abc中，d為bc上的中點，設bd=dc=n,ad=m,ab=a

ac=b,則有

2（m2+n2)=a2+b2

三角形的三條高線交於一點.三角形三條高線的交點叫做三角形的垂心.銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角的頂點；鈍角

三角形的垂心在三角形外。

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形.

例：⊙o是△abc的內切圓，△abc是⊙o的一個外切三角形，點o叫做△abc的內心.

張角公式:,設點c在線段ab上,ab外一點p對線段ac、bc的張角分別為€則sin(/pc=sinpb+sinpa.

三角形內角平分線性質定理:三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。

與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形的旁心.

例：圖中⊙o1、⊙o2、⊙o3都是△abc的旁切圓，點o1、o2、o3叫做△abc的旁心.

三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交於一點，這個交點到三角形一邊及其他兩邊延長線的距離相等，就是三角形的旁心.

三角形有三個旁切圓，三個旁心.

三角形的三條中線交於一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍．

上述交點叫做三角形的重心.

三角形的三邊的垂直平分線交於一點．

這點叫做三角形的外心.

三角形的三條高交於一點．

這點叫做三角形的垂心.

三角形的三內角平分線交於一點．

這點叫做三角形的內心.

三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點．

這點叫做三角形的旁心．三角形有三個旁心．

三角形的重心、外心、垂心、內心、旁心稱為三角形的五心．它們都是三角形的重要相關點．

三角形四心的向量表示及證明方法是什麽？

在三角形中，“四心”是一組特殊的點。

在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的“四心”進行考查，它們的向量表達形式具有許多重要的性質，總會衍生出一些新穎別致的問題，不僅考查了向量等知識點，而且培養了考生分析問題、解決問題的能力。這就需要我們在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代數運算的基礎上讀懂向量的幾何意義。

三角形四心的向量計算

平麵向量是曆年高考必考的熱點與重點，一般為中檔偏易的選擇題或填空題，命題突出考查向量的基本運算與工具性，並滲透對數學運算和數學建模等核心素養的考查。

在解答題中常和三角函數、直線與圓錐曲線的位置關係等問題相結合，主要以已知條件的形式出現，涉及向量共線、數量積等。

在菱形ABCD中，AB=4，角BAD=120，三角形AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的BC、CD上滑動，且點E、F不與B、C、D重合。 證明不論E、在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF;

已知平行四邊形被分為4個三角形,已知其中3個三角形的麵積分別為11,30,43平方厘米，求第四個三角形的麵積

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